Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie – A. Malusa

COP-MALUSAIntroduzione alle equazioni differenziali ordinarie – A. Malusa

  • I° Edizione Novembre 2013
  • Formato 17×24, Confezione brossura, pag. 306
  • ISBN: 978-88-986480-7-8
  • € 28,00
  • DISPONIBILE

 

Il testo propone un programma per un modulo monografico sulla teoria di base delle Equazioni Differenziali Ordinarie che faccia da ponte tra gli argomenti tipicamente trattati nei corsi istituzionali di Analisi Matematica (teorema di esistenza ed unicità locale di Cauchy e i più semplici metodi di risoluzione) e i temi più avanzati che vengono usualmente proposti nei corsi di Sistemi Dinamici. Nei primi due capitoli vengono introdotte, attraverso esempi applicativi, le questioni che saranno sviluppate nel resto della presentazione (buona posizione per il Problema di Cauchy, metodi di risoluzione, analisi qualitativa delle traiettorie nello spazio delle fasi) e viene riportato il Teorema di esistenza ed unicità locale di Cauchy. Nel terzo capitolo vengono proposti alcuni metodi di integrazione esplicita per equazioni scalari (equazioni a variabili separabili, lineari del primo ordine, di Bernoulli, omogenee) ed alcuni metodi di determinazione implicita delle soluzioni sia per equazioni scalari che per sistemi nonlineari (equazioni esatte, metodo del fattore integrante, integrali primi). Il quarto capitolo è dedicato ai risultati generali sulla buona posizione del problema di Cauchy: viene dimostrato il Teorema di esistenza di Peano, si ricava a posteriori, usando il Lemma di Gromwall, l’unicità locale della soluzione e la dipendenza continua delle soluzioni dal dato iniziale in ipotesi di locale Lipschitzianità del campo, si introducono i prolungamenti e viene descritto il comportamento delle soluzioni massimali agli estremi del loro intervallo di definizione. La parte centrale del testo è dedicata allo studio dei sistemi lineari di equazioni differenziali ed ai prerequisiti necessari per determinare esplicitamente le soluzioni di sistemi lineari omogenei autonomi (operatori lineari in spazi di Banach, forma canonica di Jordan). L’obbiettivo di questa parte della trattazione è sia quello di saper integrare esplicitamente i sistemi lineari omogenei autonomi (in particolare viene proposta la descrizione dei ritratti di fase dei sistemi bidimensionali omogenei autonomi), sia quello di fissare dei criteri precisi sul i comportamento asintotico delle soluzioni (criteri di stabilità, instabilità, limitatezza; varietà stabile ed instabile). Inoltre la teoria dei sistemi lineari viene utilizzata per dimostrare il risultato generale di differenziabilità delle soluzioni di sistemi nonlineari rispetto ai dati inziali. Nel nono capitolo, i risultati sui sistemi lineari vengono applicati alla descrizione delle soluzioni di equazioni differenziali lineari scalari di ordine superiore al primo, mentre il capitolo conclusivo è dedicato all’analisi locale delle soluzioni di sistemi non lineari autonomi. Più precisamente viene dimostrato il Teorema della scatola di flusso e si accenna al Teorema di Hartman Grobman, fornendo così una panoramica dei risultati sulla geometria locale delle traiettorie ed, infine, si introducono i concetti base della teoria della stabilità alla Lyapunov, proponendo il Principio di stabilità linearizzata. Tutti i capitoli (tranne quello in cui si richiamano nozioni di algebra lineare) sono corredati da una sezione di esercizi svolti. Nell’ambito degli esercizi, vengono anche proposti approfondimenti e complementi alla teoria sviluppata nel capitolo: dimostrazioni alternative dei risultati (come, ad esempio, l’utilizzo di risultati di punto fisso per famiglie di operatori per dimostrare la buona posizione del problema di Cauchy in ipotesi di locale Lipschitzianità del campo), oppure tecniche più avanzate (come, ad esempio, l’utilizzo della funzione di Lyapunov nello studio della stabilità). La trattazione è quanto più possibile autocontenuta, con riferimenti bibliografici a testi riguardanti gli strumenti che vengono utilizzati e che si assume siano stati precedentemente trattati, ed è pensato come supporto didattico per corsi monografici o moduli di corsi da erogare a studenti di matematica, fisica o ingegneria che abbiano sostenuto gli esami di base del primo biennio.

 

  • Annalisa Malusa è laureata in Matematica a Roma nel 1991 ed ha conseguito il dottorato di ricerca in Matematica presso la SISSA di Trieste nel 1995. Dal 1993 è ricercatrice di Analisi Matematica. La sua ricerca si inserisce principalmente nell’ambito delle Equazioni alle Derivate Parziali e del Calcolo delle Variazioni.